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📘 Circuits à courant continu

Karen Tennenhouse (Version anglaise), Traduction assistée par IA, révisée par Stefan Bracher

Théorie

La loi des mailles de Kirchhoff

(Loi des tensions)

▶ Vidéo — Alloprof

La deuxième loi de Kirchhoff, c’est quoi?

On peut comprendre cette loi comme une conséquence de la conservation de l’énergie et du fait que la notion d’« énergie potentielle électrique » a un sens (c’est-à-dire que la force électrostatique est conservative, au sens défini dans le cours de mécanique).

Une formulation plus précise de cette loi est :

La somme algébrique des variations de potentiel rencontrées lorsqu’on parcourt une maille complète doit être nulle.

Pour appliquer cette loi, on attribue les signes + et − aux différences de potentiel de la façon suivante :

• Si on traverse (en imaginant qu’on se déplace dans le circuit) un résistor dans le sens du courant i indiqué sur le schéma, la variation de potentiel est − iR.

Si on se déplace dans le sens opposé au courant, la variation est + iR.

• Si on traverse une source d’électromotance de sa borne négative vers sa borne positive, la variation de potentiel est + ε. Si on la traverse dans le sens opposé, la variation est − ε.

La loi des nœuds de Kirchhoff

(Loi des courants)

▶ Vidéo — Alloprof

La première loi de Kirchhoff, c’est quoi?

« La somme des courants dans les branches en parallèle est égale au courant qui entre. »

On peut comprendre cette loi comme une conséquence de la conservation de la charge :

La charge ne peut pas s’arrêter et s’accumuler quelque part dans le circuit, et aucune charge nette n’est créée ni détruite.

Une formulation plus précise de cette loi est :

La somme algébrique des courants à un nœud est nulle.

Pour appliquer cette loi, on écrit l’équation des courants en attribuant les signes + et − de la façon suivante :

• Un courant qui entre dans le nœud est représenté par un terme positif.
• Un courant qui sort du nœud est représenté par un terme négatif.

Utilisation des lois de Kirchhoff

On utilise les lois de Kirchhoff de différentes façons, notamment :

A) Comme des faits importants en eux-mêmes.

B) Pour résoudre des problèmes de difficulté simple à moyenne, souvent avec une seule source d’électromotance.

C) Les lois de Kirchhoff permettent de démontrer deux formules pratiques pour la résistance équivalente de plusieurs résistors reliés entre eux. Ici, « équivalente » signifie que le reste du circuit se comporterait de la même façon si l’ensemble était remplacé par un seul résistor de résistance Req.

Ces deux formules servent souvent à calculer Req et, parfois, à redessiner une partie du circuit pour simplifier un problème.

Plus précisément :

En série, les résistances s’additionnent : $R_{eq}=R_1+R_2+\cdots +R_n$

En parallèle : $1/R_{eq}=1/R_1+1/R_2+.....+1/R_n$

(On peut dire que les inverses des résistances s’additionnent en parallèle.)

Tu devrais être capable de démontrer ces deux résultats à l’aide des formulations simples et intuitives des lois de Kirchhoff.

Lorsqu’il n’y a que deux résistors en parallèle, il est souvent plus rapide d’utiliser la forme

$R_{eq}=\frac{(R_1{R}_2)}{(R_1+R_2)}$

Remarque que l’ajout de résistors en série fait augmenter Req, tandis que l’ajout de résistors en parallèle fait diminuer Req.

D) Pour résoudre des problèmes plus compliqués :

Ces problèmes comportent habituellement plusieurs sources d’électromotance dans des mailles distinctes, ou un agencement compliqué de résistors qui ne peut pas être simplifié à l’aide de Req. Dans ce type de problème, le sens réel des courants n’est pas évident au départ, et il faut utiliser une méthode plus formelle et systématique.

Méthode formelle d’application des lois de Kirchhoff

(Dans les problèmes plus compliqués)

(Étape facultative A) S’il y a plusieurs branches contenant uniquement des résistors, tu peux redessiner le circuit en remplaçant cette partie par sa résistance équivalente Req avant de commencer la méthode principale.

B) Fais un grand schéma clair du circuit. Identifie chaque électromotance et chaque résistor.

C) Choisis un sens pour le courant dans chaque branche, puis indique-le par une flèche et attribue-lui un symbole.

Peu importe si ton choix est correct : tout se précisera au moment de résoudre les équations. Un bon choix te permettra simplement d’éviter quelques signes moins à l’étape H).

Toutefois, si l’énoncé donne les sens des courants, tu dois utiliser ceux qui sont indiqués.

D) Choisis les mailles que tu vas examiner.

[Certaines personnes préfèrent utiliser les mailles intérieures (les « fenêtres » du schéma); d’autres utilisent la maille extérieure; parfois, on voit qu’une certaine maille donnera une équation plus simple. Fais comme tu préfères.]

Pour chaque maille choisie, choisis et indique un sens de parcours, horaire OU antihoraire, dans lequel tu vas parcourir mentalement la maille. Encore une fois, le choix du sens n’a pas d’importance.

E) Choisis le ou les nœuds à utiliser. (Il est souvent très utile de les identifier par des lettres.) Applique la loi des nœuds de Kirchhoff, somme des courants à un nœud = 0, à chaque nœud choisi. Rappelle-toi : les termes sont positifs pour les courants qui ENTRENT et négatifs pour les courants qui SORTENT.

F) Applique la loi des mailles de Kirchhoff (loi des tensions) à chaque maille choisie.

Rappelle-toi d’attribuer les signes + et − de cette façon :

• Si on traverse (en imaginant qu’on se déplace dans le circuit) un résistor dans le sens du courant i indiqué sur le schéma, la variation de potentiel est − iR.

Si on se déplace dans le sens opposé au courant, la variation est + iR.

• Si on traverse une source d’électromotance de sa borne négative vers sa borne positive, la variation de potentiel est + ε. Si on la traverse dans le sens opposé, la variation est − ε.

À la fin des étapes E) et F), tu devrais avoir autant d’équations indépendantes que d’inconnues indépendantes. Par exemple, dans un circuit à deux mailles, on peut obtenir trois équations indépendantes et ainsi déterminer trois inconnues.

G) Substitue les valeurs ou les relations connues et résous les équations.

H) Interprète et présente les réponses finales.

En particulier, si la valeur d’un courant est négative, cela signifie que le courant circule réellement dans le sens opposé à celui que tu as indiqué. Ne modifie PAS ton schéma à cette étape.

Comment résoudre le système d’équations indépendantes

Calculatrice

Aide-mémoire pour les calculatrices

Équation	Sharp		Casio
	EL-520X	EL-W516X	fx-991 ES
Équation du second degré	Mode → 2 → 2	Mode → 6 → 2
Système d’équations	Mode → 2 → 0 / 1	Mode → 6 → 0/1	Mode → 5 → 2

Mathématiques

Substitution de variables

▶ Vidéo — Alloprof

Résolution de systèmes d’équations par substitution et réduction

Algèbre linéaire — Matrices

▶ Vidéo — Yvan Monka

Résoudre un système à l’aide des matrices

Outils informatiques

Wolfram Alpha

Ouvrir Wolfram Alpha

Équation	Exemple
Équation du second degré	3x^2 - 2x - 2 = 0 → Entrée
Système d’équations	3x+2y+7z=4, 3x+y=0, y+z=0 → Entrée

Calculateur d’élimination de Gauss-Jordan

https://matrix.reshish.com/gauss-jordanElimination.php

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